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大学入試問題 （1000）
- 大学入試問題に関する話題
防衛医大数学'09年[1]- 2009/07/30 12:35
- 防衛医大数学'09年[1]曲線上の点Pにおける接線と法線をそれぞれ，とする。曲線と接線とy軸で囲まれる部分の面積を，曲線と法線とy軸で囲まれる部分の面積をとする。ただし、のとき、とおく。このとき、以下の問いに答えよ。(1) 接線と法線の方程式を求めよ。(2) ，をpを用いて表せ。(3) を求めよ。解答 (1)，(2)は標準問題ですが、(3)の極限を求めるところで苦労させられます。接線と法線については、接線と法線の公式、面積計算…
- 北大物理'09年前期[3]
- 2009/07/27 07:52
- 北大物理'09年前期[3]図1のように、断熱素材でできた球皮とゴンドラ等からなる気球が地面に置かれて浮上せず静止している。大気(空気)は温度の理想気体とみなすことができる。大気の圧力は重力のため高度が低いほど高いが、ここではまず、その圧力の高度依存性を無視して気球の中心の高度での大気の圧力で近似する。一方、密閉された球皮内には大気と同じ圧力pと温度Tを持つ単原子分子理想気体が入っており、球皮内の気体の内部エ…
- 奈良県立医大数学'09年[1]
- 2009/07/26 17:03
- 奈良県立医大数学'09年[1]xyz空間において原点Oを中心とする半径1の球面をSとし、球面Sから点Nを除いた部分に属する点Pに対して、2点N，Pを通る直線とxy平面との交点をQとおく。(1) 点Qの座標を求めよ。(2) 球面S上の任意の点Rに対してRのどんな近くにも、S上の点で各座標a，b，cがすべて有理数からなるものが存在することを証明せよ。解答 (2)が問題ですが、「条件を満たす点が存在すること」の証明は、条件を満たす点を求める方…
- 山梨大医数学'09年[3]
- 2009/07/21 07:30
- 山梨大医数学'09年[3]a，b，t ()を実数とする。2次正方行列Aをとし、とする。自然数nに対して、とおく。(1) を満たすを求めよ。(2) をn，a，bを用いて (p，qは実数)の形に表せ。(3) ，が成り立ち、，，，が存在すると仮定する。このとき、を満たすがただ1つ存在することを示せ。さらに、この，に対して，を求めよ。解答 行列式の計算が面倒な問題です。(2)では、ハミルトン・ケーリーの定理による次数下げを利用します。(1) より…
- 静岡大物理'09年[1](その２)
- 2009/07/17 13:09
- その１からのつづき 追記．問1(2)では、自然長の位置に来たときに小物体が板と離れることが問題文中に書かれています。ばねの伸びを，板と小物体の加速度を，板と小物体の間の垂直抗力をとして、板の運動方程式： ･･･�ぞ�物体の運動方程式： ･･･��(3)の解答中の運動方程式は�ぁ椨イ箸靴篤世蕕譴泙后�を�イ紡綟�すると、であれば、小物体と板とは接触していますが、となる瞬間に小物体と板とが離れます。これはのときで…
- 静岡大物理'09年[1](その１)
- 2009/07/17 13:05
- 静岡大物理'09年[1]図1および図2に示すようなばねを用いた小物体の打ち出し装置を考える。この装置のばねの一端は固定され、他端には質量の薄い板が取り付けられている。小物体の質量を，用いたばねのばね定数を，重力加速度の大きさをとして、以下の問いに答えよ。ただし、ばねの質量、空気抵抗は無視できるものとする。問1 図1のように打ち出し装置を摩擦のないなめらかな水平面上に置いた場合について考える。(1) 図1(a)はばね…
- 金沢大理系数学'09年前期[3]
- 2009/07/09 13:34
- 金沢大理系数学'09年前期[3]とし、点Oを原点とするxy平面において、3点O，A，Bを頂点とする三角形OABと、互いに相似な3つの二等辺三角形，，を考える。ここで、辺AB，OB，OAはそれぞれの二等辺三角形の底辺であり、点は直線ABに対して点Oと反対側に、点は第2象限に、点は第4象限に、それぞれあるとする。とおく。次の問いに答えよ。(1) 点，の座標を、r，tの式で表せ。(2) 直線，および直線の方程式をの形で求めよ。(3) 2直線との…
- 大分大医数学'09年[1]
- 2009/07/07 13:33
- 大分大医数学'09年[1] ()とおくとき、次の問いに答えよ。(1) ，の値を求めよ。(2) の値を求めよ。解答 被積分関数の中にnが出てくるので、定積分の漸化式を考えたくなりますが、(1)を見れば、もっと別のことを考えなければいけません。(1) (不定積分の公式を参照) ......[答]とおくと、，x：のとき、q： (置換積分(その2)を参照) ......[答](2) (1)の，の結果を見れば、を数列の一般項と見て漸化式を考えるのでは展望がないこ…
- 東北大理系数学'09年前期[6]
- 2009/07/06 11:38
- 東北大理系数学'09年前期[6]実数aに対して、xの方程式が、相異なる4つの実数解をもつようなaの範囲を求めよ。解答 難問ではありませんが、地道で面倒な考察を必要とする問題です。こういう問題でこそ、東北大学を目指す気持ちの強さが現れると言えるかも知れません。以下では、の場合はグラフから視覚的に判断できますが、の場合は判別式などを調べる必要があります。なお、2次関数、2次方程式の一般論、2次方程式の解の配置を参…
- 東工大数学'09年後期[2]
- 2009/07/02 22:01
- 東工大数学'09年後期[2]，であるような点Pから双曲線へ引いた2本の接線の接点をA，Bとする。をtとおいて、三角形PABの面積をtの式として表せ。また、この面積の最小値を求めよ。解答 試験時間も考えると、凝らずに平凡に計算を進める方が良さそうです。点A，Bのx座標をa，b ()とします。，双曲線のにおける接線は、点Pを通るので、分母を払ってaについて整理すると、 ･･･�，海譴�aに関する2次方程式とみると、判別式Dは、とな…
- 九大理系数学'09年後期[3]
- 2009/06/26 14:23
- 九大理系数学'09年後期[3]Oを原点とするxyz空間内の点A，B，CをそれぞれA，B，Cとし、2点A，Bを通る直線をとする。以下の問いに答えよ。(1) 点Pは直線上を動き、点Qはy軸上を動くものとする。このとき、2点PとQとの距離の最小値を求めよ。また、PとQとの距離が最小となるときのPとQをそれぞれ，とする。との座標を求めよ。(2) との距離がsであるような直線上の点の一つをSとする。点Sから三角形を含む平面に下ろした垂線とその平面…
- 徳島大数学'09年[4]
- 2009/06/25 07:33
- 徳島大数学'09年[4]，とする。次の2つの等式を満たす2次の正方行列X，Yについて、下の問いに答えよ。，(1) を求めよ。(2) Xを求めよ。解答 最初からとおいてやっていくと大変なことになります。見通しが立つところまでは、Xのまま、行列の積が非可換()であることに注意して文字式の計算を進めましょう。 ･･･� �･･･��(1) とおくと、右からXをかけて、 ･･･�� (逆行列を参照)��を�，紡綟�すると、左からX，右からをかけ…
- 筑波大数学'09年[3]
- 2009/06/23 13:26
- 筑波大数学'09年[3]を整式で表される関数とし、とおく。任意の実数xについてが成り立つとする。(1) が成り立つことを示せ。(2) は定数または1次式であることを示せ。(3) およびを求めよ。解答 連立微分方程式のように見えますが、は整式、という指定がついているので、現行の高校学習指導要領の範囲内で解決します。なお、本問のような、を利用する問題では、定積分を0にするようなxの値を代入することにより、隠れた条件が出てく…
- 早大理工数学'09年[1]検討
- 2009/05/12 02:10
- 早大理工数学'09年[1]検討[1](解答はこちら) ガウス記号が出てくると恐怖感を抱く受験生が多いので、2009年の早大理工は、いきなり第1問にガウス記号をもってきて驚かそう、ということのようですが、見かけ倒しで実は大して難しくありません。ガウス記号内が、ある整数から整数＋1になるように場合分けしてしまえば手を動かすだけです。この問題で調子をつけて[2]〜[5]を一気に、という感じでしょうか。雑誌「大学への数学」の解…
- 早大理工物理'09年[3](その１)
- 2009/06/22 02:30
- 早大理工物理'09年[3]空間に固定された無限に長い2本のレールがある。レールはx軸に平行である。このレールにそって運動する質量Mの物体Aを考える(図1)。物体Aは5つのなめらかな面をもつ。面1は2辺がレールに平行な長方形で、かつ、y軸に垂直である。面2は面1とのなす角がq の斜面である。面3はx軸に垂直である。残りの2つの面はそれぞれ面1に垂直である。y軸の負の方向に一定の速さvで運動する質量mの粒子Bが物体Aに衝突する。衝…
- 早大理工物理'09年[3](その２)
- 2009/06/22 02:33
- その１からのつづき 問5 問3，問4の，は粒子1個が面2から受ける力積の大きさで、物体Aは粒子1個からこれの反作用となる力積を受けます。面2、面3に衝突する粒子が個、個ある場合には、物体Aの面2，面3が受ける力積の大きさは，となります。よって、個の粒子が面2に及ぼす平均の力のx成分をとして、とすると、∴ ......[答]同様に、個の粒子が面3に及ぼす平均の力は、∴ ......[答] (の向きはx軸負方向)問6 問題文の説明が…
- 阪大理系数学'09年後期[2]
- 2009/06/17 19:29
- 阪大理系数学'09年後期[2]以下の問いに答えよ。(1) が無理数であることを証明せよ。(2) a，bを有理数とする。多項式がを満たすとき、a，bを求めよ。(3) nを2以上の自然数とする。は有理数を係数とするn次多項式で最高次の係数が1であるとする。となるとき、を示せ。解答 実数係数のn次方程式：が、p，qを実数として、虚数解 ()をもてば、その共役複素数も解になることが知られています。同様に、有理数を係数とするn次方程式：が…
- 横国大工数学'09年後期[2]
- 2009/06/12 18:35
- 横国大工数学'09年[2]次の問いに答えよ。(1) をみたす正の整数x，yの組をすべて求めよ。(2) をみたす正の整数x，yの組をすべて求めよ。(3) を因数分解せよ。(4) nを正の整数とする。をみたす正の整数x，yが存在することを示せ。解答 (4)では、(3)の利用の仕方で少々悩むかも知れません。2009は7の倍数です。なお、整数、因数分解を参照してください。(1) です。より、であって、以下の3つの場合に限られます。(i) ，連立して解く…
- 広島大理系数学'09年[3]
- 2009/06/11 16:18
- 広島大理系数学'09年[3]曲線上の点Aにおける接線をとし、点Bを通り直線に平行な直線をmとする。直線mと曲線の2つの交点P，Qのx座標をそれぞれa，b (ただし)とする。直線と直線の交点を，直線と直線の交点をとする。次の問いに答えよ。(1) 平行四辺形の面積Sをa，b で表せ。(2) 直線mと曲線によって囲まれる図形の面積Tをa，bの多項式で表せ。(3) 線分PQの中点Rは第2象限にあることを示せ。(4) であることを示せ。解答 不等式の証…
- 名工大数学'09年[2]
- 2009/06/09 17:12
- 名工大数学'09年[2]楕円を原点を中心に反時計回りに角だけ回転して得られる曲線をCとする。(1) 曲線Cの方程式を求めよ。(2) 直線がCと共有点を持つような実数tの範囲を求めよ。(3) すべての頂点がC上にあり、1辺がx軸に平行な三角形の面積の最大値を求めよ。解答 斜めの楕円を考えるのですが、楕円を斜めにしなくても、首を斜めにして楕円をそのままで考えることもできます。楕円の方程式： ･･･�仝凝世鮹羶瓦鉾浸�計回りに角…
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【ブロガーイベント】表参道で日頃の疲れを癒すクイックエステやヨガ体験！(2009.11.20)
YAMAHA iPod対応ミニコンポ「MCR-040」 体験会＆レビュー ブロガー大募集！(2009.11.04)
