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- 大学入試問題 （567）
- 大学入試問題に関する話題
- 京大理系数学'05年前期[1](再掲)
- 2008/07/25 09:49
- 京大理系数学'05年前期[1]xy平面上の原点と点を結ぶ線分(両端を含む)をLとする。曲線がLと共有点をもつような実数の組の集合をab平面上に図示せよ。解答 入試では頻出の2次方程式の解の配置の問題です。原点と点を結ぶ直線は傾きが2なので、 ･･･�（�物線： ･･･�� と、L，即ち、直線�，里良�分とが共有点をもつ⇔ �，鉢△鯱⇔�してできる2次方程式：がの範囲に少なくとも1解を有する⇔ 1) がただ1つの解をの範囲にもつかまた…
- 京大物理'06年前期[3](再掲)
- 2008/07/24 11:06
- 京大物理'06年前期[3]次の文を読んで、 には適した式を、また{ }からは正しいものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。(1) 一般に熱の出入りを伴わない状態変化を断熱変化と呼ぶが、気体の断熱変化では、変化の各段階で平衡状態が実現しているならば、という関係が成り立つ。べき定数g は気体の種類によって異なるが、必ず1より大きい値をもつ。以下では、空気に対するべき定数を、g と表す。空気は断熱性がよい…
- 京大物理'06年前期[2](その１)
- 2008/07/23 10:47
- 京大物理'06年前期[2]次の文を読んで、 には適した式または数値を、{ }からは正しいものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。水平な板の上に、図1のように導体でできた十分に長い2本のレールが間隔Lで平行に置かれている。電気抵抗がの金属棒と、電気抵抗がの金属棒はともに長さがLで、絶縁体の糸でつながれて2本のレールに直交して置かれ、その上を左右に摩擦なく動けるようになっている。2本のレール間には一様…
- 京大物理'06年前期[2](その２)
- 2008/07/23 10:49
- その１からのつづき (3)(ヌ) 金属棒，からなる系に働く力は、電磁力， (右向き)と、おもりによる力F (左向き)です。金属棒，が一定の速さで運動するので、力のつり合いより、よって、両金属棒の速さをuとすると、(へ)の結果などにより、 ･･･�ぁ� ......[答](ル) 電磁力が力Fに逆らってする単位時間あたりの仕事は、 ......[答](ヲ) 単位時間に両金属棒に発生するジュール熱の和は、 (ここで�い鰺僂い�) ......[答](…
- 京大物理'06年前期[1](再掲)
- 2008/07/22 11:25
- 京大物理'06年前期[1]次の文を読んで、 に適した式または数値をそれぞれの解答欄に記入せよ。 図1のように、質量mの粒子が、速さvで、半径rの球殻内面と弾性衝突を繰り返している。球殻との衝突角度をq (ラジアン)とする。1つの粒子が1回の衝突で球殻に与える力積は ア である。これを球殻に衝突してから次の衝突するまでの時間(飛行時間)で割ることにより、単位時間当たりの力積の総和 イ が与えられる。速さvのN個の粒子…
- 京大理系数学'06年前期[6](再掲)
- 2008/07/21 10:23
- 京大理系数学'06年前期[6]として、関数Fを で定める。q?がの範囲を動くとき、Fの最大値を求めよ。解答 最大値を求めるために、どうせ定積分の計算が必要になります。 (部分積分法を参照)とすると、または，より、のとき、∴ ，の増減表は(関数の増減を参照)、q0 0＋0−0増減表より、最大値： ......[答]の計算は、でOKです(定積分の微分を参照)。TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ(Ｃ)2005, 2006，2…
- 京大理系数学'06年前期[1](再掲)
- 2008/07/20 18:19
- 京大理系数学'06年前期[1]を2次式とする。整式はでは割り切れないが、はで割り切れるという。このとき2次方程式は重解をもつことを示せ。解答 多項式の除算の問題です。2次方程式が重解をもつと言っているので、の2解をa，bとおいて、を示すことになります。は2次式なので、の2解をa，b (a，b は複素数)，として、 ･･･�，判颪�ことができます。はで割り切れないので、商を，余り(1次式または0でない定数)をとして、 ･･･�◆�
- 京大理系数学'06年前期[2](再掲)
- 2008/07/20 18:20
- 京大理系数学'06年前期[2]点Oを原点とする座標空間の3点をA，B，Pとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数tが存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。解答 空間ベクトルの問題です。線分AB上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、sをを満たす実数として、 ･･･�，班修擦泙后�線分OP上の点(両端を含めて)を示す位置ベクトルは、kをを満たす実数として、 ･･･�△班修気譴泙后�線分OPと線分ABが交点…
- 京大理系数学'06年前期[3](再掲)
- 2008/07/20 18:22
- 京大理系数学'06年前期[3]関数のグラフは、座標平面で原点に関して点対称である。さらにこのグラフのの部分は、軸がy軸に平行で、点を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。解答 のの部分は、点を頂点とする放物線だから(2次関数を参照)、 ･･･�仝凝世鯆未襪�ら、�，砲�いて、として、∴ よって、のの部分は、 ･･･�◆�
- 京大理系数学'06年前期[4](再掲)
- 2008/07/20 18:23
- 京大理系数学'06年前期[4]2以上の自然数nに対し、nとがともに素数になるのはの場合に限ることを示せ。解答 nが素数となるものを、を除いて書き並べてみます。のとき、，のとき、，のとき、，のとき、，のとき、こう書いてみると、がいずれも3の倍数であることに気付きます。を除いて、が3の倍数になることを言えば、題意が言えることになります。のとき、は3の倍数であって、素数ではありません。のとき、は素数です。となる素数n…
- 京大理系数学'06年前期[5](再掲)
- 2008/07/20 18:25
- 京大理系数学'06年前期[5]に対し、辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺上を動くとき、この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。解答 平面ベクトルの問題です。ベクトルの内分・外分、平面ベクトルの応用を参照してください。三角形の重心をGとして、を2つのベクトル，を使って表すことにより重心の存在範囲を考えます。正答を求めるだけな…
- 東工大物理'02年前期[3](再掲)
- 2008/07/19 14:12
- 東工大物理'02年前期[3] 質量mの小球の両側に自然長がのゴムひも1とのゴムひも2の一端をつなぎ、図のようにこの小球を水平に置かれた長さLの真っ直ぐなレールの上に置く。2本のゴムひもの他端は、レールの両端に固定された支柱につないだ。このときいずれのゴムひもも自然長よりも伸びていた。ゴムひもを自然長から引き伸ばすとに比例する復元力が働く。復元力の比例定数は、ゴムひも1ではk，ゴムひも2ではである。図のようにつり…
- 東工大物理'02年前期[2](その１)
- 2008/07/19 14:05
- 東工大物理'02年前期[2] 図のように液体の入った円筒状の容器の中に、熱をよく通すシリンダーがさかさまに浮いている。容器とシリンダーにはそれぞれ、気密性を保ちながら滑らかに動き質量が無視できるピストンがついている。シリンダーには質量が無視できるn[mol]の理想気体が入っており、シリンダーのピストンと容器の底は質量が無視できるバネでつながれている。容器とシリンダーの断面積はそれぞれ，S，液体の密度はr ，外気…
- 東工大物理'02年前期[2](その２)
- 2008/07/19 14:08
- その１からの続き [C](e) この状況では、シリンダーに外力をかけて上に引き上げているので、シリンダーに働く力のつり合いを考えることはできません。シリンダーをx[m]上昇させたとき、シリンダー内の気体が存在する部分の高さは、[m]です。シリンダー内の気体の体積は[]このときのシリンダー内の気体の圧力をとして、等温変化なのでボイルの法則より、 ･･･�Д轡螢鵐澄爾離團好肇鵑旅發気�ら上側にあって、シリンダーの外側…
- 東工大物理'02年前期[1](再掲)
- 2008/07/18 13:19
- 東工大物理'02年前期[1] 図に示す平行板コンデンサーの極板は、一辺の長さがaの正方形である。図の中に斜線を引いて示してある導体板は、一辺の長さがaの正方形で厚さはである。図の中の電池の起電力はである。コンデンサーの下側の極板の位置は固定されている。下側の極板の左側を図のようにx，y座標の原点Oとする。x軸とy軸に垂直な方向にz軸をとり、点Oをz軸の原点とすると、両極版と導体板はいずれもからまでの範囲にある。導…
- 東工大数学'02年前期[4](再掲)
- 2008/07/17 14:32
- 東工大数学'02年前期[4]nを自然数とする。(1) 次の極限を求めよ。(2) 関数の極値を与えるxの最小値をとする。このときおよびを示せ。(3) (2)のに対して、極限を求めよ。解答 (1)の�⊆阿漏�段型関数の技巧を用いて、右図で、緑線から内側の面積≦赤線から内側の面積≦青線から内側の面積を考えれば、すぐに得られます。(2)は、n次方程式については、高次方程式、背理法については証明の技巧を参照してください。(1) において、より…
- 東工大数学'02年前期[3](再掲)
- 2008/07/17 14:31
- 東工大数学'02年前期[3]空間内にある一辺の長さが1の正三角形ABCで、Aの座標がであり、BとCのz座標が等しいものを考える。点Lにある光源がxy平面上に作るこの正三角形の影の部分の面積の最大値を求めよ。解答 正三角形ABCをz軸のまわりに回転させても、xy平面上にできる影の部分の面積は変わりません。従って、正三角形ABCを回転させて、BCがy軸と平行になる位置まで回転させて考えることにします。このとき、B，Cのx座標は一致し…
- 東工大数学'02年前期[1](再掲)
- 2008/07/17 14:27
- 東工大数学'02年前期[1]実数aに対し、積分を考える。の最小値を求めよ。解答 絶対値記号を含む関数の積分では、絶対値記号の内側が0以上か、0以下かで、積分区間を分けて計算する必要があります。なお、三角関数を参照してください。絶対値記号の内側について、としてみると、においては、なので、でくくって、⇔ において、は単調増加で、です。従って、aがを満たす実数の場合には、の範囲内にとなるxが存在します(中間値の定理…
- 東工大数学'02年前期[2](再掲)
- 2008/07/17 14:28
- 東工大数学'02年前期[2]楕円の外部の点Pから引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。解答 受験生にはおなじみの頻出パターン問題です。楕円の方程式の分母を払うと、 ･･･�，海梁扮澆法�点Pから引いた2本の接線は、の場合には、 ･･･�△侶舛暴颪�ことができます。の場合には2本の接線の片方がx軸に垂直になるのですが、この場合については、最後に考えることにします。の場合、�△鯤儼舛靴董△海譴鬮，紡綟�しま…
- 気体分野
- 2008/02/18 02:45
- 気体分野気体分野の目次のページです。各項目の内容を作成するに従って、リンクを貼り付けていきます。各項目の文字列をクリックすると、解説ページに飛びます。このページは作成中に随時更新されて行きます。(1) 熱 (2) エネルギー保存則 (3) 理想気体 (4) 状態方程式 (5) 気体分子運動論 (6) 気体のした仕事 (7) 内部エネルギー (8) 熱力学第一法則 (9) 不可逆変化 (10) 熱力学第二法則 (11) モル比熱 (12) 定圧変…
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